魏然1, 王显会1, 周云波1, 张明1
（1.南京理工大学 机械工程学院，江苏 南京 210094）
摘 要：针对地雷爆炸环境下的某越野车车身底部结构，以降低整备质量、受冲击载荷后的变形挠度、加速度、增加其底部结构的比吸能为目标响应，设置结构中各部件的厚度、几何形状为设计变量建立多目标优化模型。结合试验设计和方差分析方法对设计变量进行参数筛选并建立优化模型的响应面；通过遗传算法对响应面进行求解，得到了该优化问题的pareto解集，每个pareto解都是一个优化方案，可结合工程实际对pareto解集进行合理选择，继而指导该车辆底部结构设计；在pareto解集的基础上使用标准边界法得到了一个理想解，在尽量不增加结构质量的情况下，有效地提升了结构的防护性能。
关键词：响应面法 多目标优化 参数筛选 标准边界交叉法 爆炸防护
Multi-objective Optimization for Bottom Structure of Protective
Vehicle on Response Surface Methodology
Wei Ran1, Wang Xianhui1, Zhou Yunbo1, Zhang Ming1
（1.School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science & Technology，
Jiangsu Nanjing, 210094, China）
Abstract: The multi-objective optimization problem of vehicle bottom structure under landmine explosion is established by increasing complete vehicle kerb mass, deflection, acceleration and reducing specific energy absorption as response functions, besides the optimal design variables are consisted of the thickness and geometry parameters. A response surface is built by design of experiment and analysis of variance after parameter screening is completed. The multi-objective genetic algorithm is used to get the pareto solution set, every pareto solution is an optimal plan which could guide the design of vehicle bottom structure. Eventually, the normal-boundary intersection is applied to get an ideal solution which could give a comprehensive consideration of the contradiction between loss of weight and blast protection, the blast protection of structure is greatly promoted keeping up with the weight nearly unchanged.
Keyword: Response Surface Methodology, Multi-objective Optimization, Parameter Screening, Normal-boundary intersection, Protective vehicle
在反恐与维和任务中，对于军用后勤车辆，来自反车辆地雷和简易爆炸装置IED（Improvised Explosive Device）的威胁与日俱增[1]，为了提升乘员在车辆受到地雷袭击时的生还率，现役军车设计之初大多需要考虑其底部结构的抗爆炸冲击特性[2]。越野车车身底部是受爆炸冲击影响最大的车身构件之一，其防护性能直接关乎乘员的生存率，因此车身底部的抗爆炸冲击性能是越野车车身结构优化的研究重点。随着显式动力学仿真分析的技术发展，地雷爆炸环境下车辆防护结构的响应仿真已成为可能，目前已有学者[3-5]对于军用车辆的防护结构进行了小规模的仿真和优化研究。但由于整车的地雷爆炸仿真是一个高度非线性响应过程，其模型复杂、计算规模大（百万级单元以上），很难通过仿真方法直接对车身进行参数筛选与结构优化。
解决上述问题可行的方法即结合试验设计和数理统计，在不降低计算精度的前提下，构造计算快捷且能够代替整车地雷爆炸有限元仿真的响应面，进而高效地对地雷爆炸环境下的车身结构进行优化。目前响应面法已被广泛运用于工业界以解决碰撞、冲压成型等非线性响应问题，如郝亮等[6]应用响应面对参数化的诱导槽吸能盒进行优化；丁炜琦等[7]通过响应面，对该客车结构的振动加速度、疲劳耐久性行了多目标优化；Honggang An[8] 在薄壁管件的冲压成型仿真中的工艺设计建立响应面并对其进行了多目标的优化。
针对越野车车身底部结构的优化，首先通过试验设计对车身底部结构设计变量筛选，然后以增加结构的比吸能，降低结构质量、受冲击后的变形挠度、加速度为目标建立了响应面，最后通过多目标遗传优化算法对响应面进行了优化，取得了理想的结果。
1 响应面法
在有限元的结构优化问题中使用响应面可大大缩短优化迭代的计算时间、减少工程师因重复建模带来的工作量，同时也可以避免优化中形状变量交叉变化造成的有限元模型网格质量下降导致计算结果不收敛的情况。其基本思想是通过试验设计进行设计样本空间，最后通过曲线拟合的方法建立响应面。
1.1 试验设计
试验设计是一种对试验进行合理安排的数理统计方法，并以较小的试验周期、试验成本获得理想的试验结果。比较常见的试验设计方法有中心复合试验、拉丁超立方试验、哈摩斯雷试验设计等。
在建立越野车车身底部结构优化响应面中，由于单次的整车爆炸仿真试验耗时较长，试验设计中应尽量缩减试验中水平值。推荐使用plack-burman试验建立参数筛选的样本空间，plackett-burman试验是一种多变量2水平的筛选试验，各个变量的水平差值不能过大（高水平为低水平的1.5倍以内），不考虑因子之间的交互效应，通过plackett-burman采样结合方差分析（analysis of variance, ANOVA）能高效地对多因子空间的结构变量进行一阶灵敏度分析，从而有效地判断个变量对响应函数的贡献，缩减变量的样本空间；在对其优化数学模型进行曲线拟合的样本空间建立中，考虑变量之间的主效应、交互作用外、二次效应变得必要，故推荐使用正交中心复合试验[9]（Orthogonal-Composite Design of Experiment，CCD）设计。
1.2 响应面法理论
是数学与数理统计相结合的一种全局近似模型的方法，对于高度非线性动力响应问题具有显著优势。响应面法可以将复杂的难以表达为显式函数关系的目标函数和约束条件表示为简单的显式函数，为后续的分析、优化等工作提供良好基础。在完成了试验设计的样本采样之后，根据不同类型的目标响应函数，利用最小二乘法或者移动最小二乘法[10]（Moving Least Square）进行曲线拟合，从而构建响应面。其基本思想是设目标响应函数与设计变量之间的关系满足如下线性方程组：
（1）
式中
为目标响应函数，
为拟合曲线函数，
为设计变量，
为拟合误差，一阶、二阶响应面多项式展开表示为：
（2）
（3）
； 
； 
（4）
式中，n为变量的个数，i、j、p为临时变量，
为通过最小二乘法得到的响应面回归系数。为了说明y与f（x）之间的拟合精度，引入pearson相关系数[11]：
（5）
（6）
式中
、
定义域为（0,1），person系数越接近1，说明变量与拟合函数之间的相关性越高。当离散的响应值分布广、形状复杂时，使用最小二乘法得到的线性方程组往往不能很好的拟合出响应面（相关系数不接近1），在不增加试验样本空间的情况下，可采用移动最小二乘法来拟合响应面，其基本思想近似与最小二乘法，只是将拟合区域分为数个子区域，各个区域内的分段响应函数只与该子区域内的变量进行拟合，由此移动最小二乘法拟合得到的响应面虽然不能以线性方程组的形式表示，却可在样本空间不足的情况下高精度地拟合响应面，其表达式如下：
（7）
式中，设计变量基函数为
，
为回归系数函数，
为移动最小二乘法得到的拟合函数。
1.3 响应面建立流程
越野车车身底部结构优化问题包含的设计变量、目标响应函数铰多，建立其响应面步骤如下（参考图1）：
（1）车身底部爆炸仿真模型标定后，初步确定结构的设计变量和目标响应；
（2）使用试验设计（plack-burman试验）建立筛选试验；
（3）通过方差分析对筛选试验结果进行一阶灵敏度分析，缩减设计变量空间，确定优化数学模型；
（4）对新的变量空间使用试验设计（CCD）建立样本空间；
（5）使用曲线拟合（最小二乘法或移动最小二乘法）建立响应面。
（6）进行相关性检验
图1 基于响应面的结构多目标优化流程
2 多目标遗传优化
越野车车身底部结构优化是一个多目标优化问题，各个目标响应函数之间存在冲突，例如为了降低质量，需要缩小防护板厚，而为了增加防护又需要增加板厚，因此这类优化问题往往无法得到一个最优解。故首先引入经典的多目标遗传算法[12]（Multiobjective Optimization Genetic Algorithms，MOGA）求出响应面的pareto解集，再利用标准边界交叉法[13]（Normal-boundary intersection，NBI）得到了在pareto解集中的一个理想解。
2.1 多目标遗传算法
不同于传统的多目标问题将多个目标考虑为独立的子问题，通过先决策后寻优的思想，利用线性加权的办法得到一个最优解，MOGA是一种在pareto占优法的基础上得到不劣解集的多目标优化方法，此算法借用了生物遗传学的观点，通过自然选择、遗传、变异等作用机制，主要通过交叉、变异、选择运算实现。交叉或变异运算不断迭代，使可行域中的变量朝着最优的方向移动，变量通过遗传算子的作用以启发式的进化搜索生成下一代的变量，再通过适应度函数来评价变量的优劣。所有的pareto集都是可行的优化方案，一般求最小值的多目标问题表达式如下：
（8）
式中F为目标响应函数向量，m为目标响应函数的个数，g为约束函数，X为变量的定义域，n为变量系数。在结构优化问题中，Pareto法的数学定义为：任意
，不存在
使得
占优于
，
即为X上的pareto最优解，其中
占优于
指的所有目标函数都小于。以最简单的双目标优化问题为例（图2），在可行解空间中
占优于
；与占优于
，故pareto最优前沿由与决定，因此MOGA通过迭代所得到的满意解集将集中在pareto最优前沿曲线（图2中粗实线）附近，在
的情况中，pareto最优前沿变为一个空间曲面。
图2 多目标遗传优化方法
2.2 标准边界交叉法
标准边界交叉法由Das I[14]开发，NBI及其衍生算法优点是适用性强，可计算n维空间多目标优化问题（
），算法简单、高效。对于求理想解的最小化问题基本思想是：
（1）将目标响应函数F（x）所得到的最优pareto最优前沿进行去量纲的标准化：
（8）
式中，
为标准化之后的第i个响应函数，
、
分别是坐标轴边界的上、下限，
是通过MOGA得到的第i个pareto解，
是pareto解集的中最大值。通过合理地搭配、的值可以使得标准化之后的pareto前沿上的解更集中。
（2）通过NBI搜索域（图2）找出其pareto最优前沿上的理想解，搜索半径公式
为：
（9）
式中，m为目标函数的个数，
为第
个目标函数的最优解集，P可取
，在算例中取p=2。
3 某越野车车身底部优化算例
由于某防护型车身具有一定的对称性，使用pro/E、hyperworks对三维模型进行必要的几何清理、模型简化，对模型各个零部件进行网格划分，并检查单元质量，对整车有限元模型进行装配。使用LS-DYNA对其1/2模型进行地雷爆炸仿真分析，在众多的爆炸仿真算法中，选择目前稳定性与精度较佳的多物质单元流-固耦合法[16]（Arbitrary Lagrange—Eulerian，ALE），空气单元网格需要覆盖整个防护型车俩的底部结构，模型（包括空气、地雷替代物单元）单元总数为1112746，节点总数为1148829，单位选用吨-mm-s。
图3 车身与空气有限元模型
模拟的时间为地雷起爆后的8ms，在地雷爆炸0.2ms后冲击波接触V形底板，3ms之后离开驾驶室底部，如图4节点位移（单位mm）云图所示，该车辆底部结构在极短时间受到爆炸冲击波袭击后产生塑形变形，驾驶室底板也因此受到较大影响，故有必要对该车辆底部结构进行优化设计。
图4 车辆底部1/2模型爆炸仿真位移云图
3.1 确定优化数学模型
该车辆底部优化的目标是提升其结构的抗爆炸冲击性能，为了定量地分析车辆底部结构的抗爆炸冲击性能，首先要确定其优化数学模型。如图5所示，在该算例中通过驾驶室底板（驾驶员脚部位置）构件的加速度
、底部V形板在爆炸冲击波下的变形挠度
、车身底部结构的比吸能
为目标函数进行评价，同时由于加装甲所增加的质量必然会影响其整车性能[15]，因此在优化目标函数中还考虑了整车质量
。
图5 某越野车车身1/2有限元模型
该车辆底部结构主要由底部的侧板、V形侧板、V形底板（对应图6中的板1，初始厚度10mm；板2，初始厚度10mm、板3，初始厚度16mm）构成。在该算例中需要考虑各个结构板的厚度和形状，因此设计变量包括5个形状变量（
）和3个尺寸变量（
）。故通过公式（8），该算例的优化数学模型可表示为：
（10）
式中，
、
分别为各个类型变量的上下边界，由于底部结构的比吸能
是目标函数的最大值，故在
中取负值。
图6 底部结构设计变量示意图
3.2 参数筛选与响应面建立
根据初步确定的数学优化模型，利用plack-burman试验的采样，建立因子数为8，水平数为2的
的参数筛选试验，结合ANVOA方法分别对4个响应函数
计算处8个变量
的贡献率（参考图6）:
质量影响：
；
挠度影响：
；
加速度影响：
；
比吸能影响：
。
图7 设计变量贡献率
为了缩减样本空间，排除对4个响应函数贡献较小的
，在后续的优化中将这3个变量设为等于初始值的常数。在新的变量空间考虑变量之间的交互性，建立因子数为5，水平数为5的正交中心复合试验
，结合公式（1—4）、（7），可得到相应函数的二次多项式方程组（加速度响应使用移动最小二乘法），进而得到4个目标函数的响应面。（以二次多项式方程组的形式描述）：
（11）
由于直接使用最小二乘法对目标函数
精度较差，利用移动最小二乘法可得到的响应面（以空间曲面的形式描述）：
|
|
|
|
图8 目标函数
响应面
根据公式（5）、（6）继而得到响应面的相关系数、（参考表1，
是响应面与仿真试验的最大相对误差）。
表1 响应面精度
响应 函数 |
|
|
|
| 0.987 | 0.984 | 0.6 |
| 0.982 | 0.924 | 1.6 |
| x | x | 3.7 |
| 0.942 | 0.938 | 3.3 |
3.3 优化及结果分析
在得到准确的响应面基础上利用MOGA算法对响应函数进行优化，设置pareto解个数为500，遗传代数为50代，每代精英数量为样本空间的10%，变异率为0.01。计算得到的pareto最优空间解集（图9，pareto最优前沿曲面在2个不同响应函数为坐标的投影），所有的pareto解集（共500个，蓝色点云）均代表该车辆底部结构优化的解，在防护车辆的设计中，可根据工程实际在pareto解集中进行人工选择。
图9 pareto最优解集及理想解
在得到pareto空间最优解集的基础上，继续使用NBI找出理想解，在公式（8）基础上对响应函数进行标准化，为了使得解集在空间上更加集中，标准化公式如下：
（12）
式中，由于比吸能响应函数需要求出其最大值，
是其pareto解集的中最小值。最后利用公式（9）可在500组pareto解空间中找出
最小的值（图8中红色点，第52组参考表2），即为该算例的理想值。
表2 部分pareto解及标准化后的pareto解
序号 |
（mm） |
（ |
（t） |
（ |
|
|
|
|
| |||||
0 | 7.439 | 4.320 | 0.938 | 1.569 | ||||||||||
1 | 6.550 | 2.121 | 0.962 | 1.080 | 0.830 | 0.422 | 0.954 | 0.948 | 1.636 | |||||
… | ||||||||||||||
51 | 6.983 | 1.895 | 0.962 | 1.061 | 0.875 | 0.403 | 0.954 | 0.964 | 1.663 | |||||
52 | 6.815 | 3.492 | 0.943 | 2.107 | 0.862 | 0.578 | 0.939 | 0.595 | 1.517 | |||||
53 | 6.736 | 2.678 | 0.974 | 1.173 | 0.858 | 0.483 | 0.965 | 0.897 | 1.634 | |||||
… | ||||||||||||||
500 | 8.128 | 3.442 | 0.865 | 1.870 | 0.982 | 0.560 | 0.878 | 0.632 | 1.565 | |||||
表2中，第0组数据由优化前该车辆的原始参数计算得到，通过比较可知，最终的理想解在结构质量基本不变的情况下（增加了0.6%，共6kg），底部变形挠度缩小了7.2%、驾驶室底板加速度缩小了19.2%、底部结构比吸能增加了34.3%。
4 结 论
（1）结合响应面法和多目标遗传算法能准确高效地解决该越野车车身底部结构优化问题，采用流程式的程序思想提高了设计人员效率、节省了计算资源，该方法与理论也适用于其他的结构优化问题。
（2）通过一阶灵敏度分析对优化模型的众多设计变量进行了参数筛选，说明在该车辆底部结构V形侧板的厚度、底部结构水平截距对其响应函数的贡献较小；V形底板的厚度、几何参数对改善其防护性能作用较大。
（3）通过多目标遗传算法得到的pareto解集具有重要参考意义，每个解都是一个优化方案，可结合工程实际对pareto解集进行合理选择，继而指导该车辆底部结构设计。
（4）通过标准边界交叉法能高效处理多目标优化问题，得到的理想解也表明该算法可综合考虑防护性能和质量的矛盾关系，在尽量不增加结构质量的情况下，最大幅度地提升其防护性能。
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